A~rt. Biol. a&m. Bioch. Biophys., 1962,...
A~rt. Biol. a&m. Bioch. Biophys., 1962, 2 (3), 251-263.
CALCULD'ERREURS DANS L'INTERPRÉTATION
QuANTITAT~~DEsÉLECTR~PI-I~RÈSESDESÉRUM
DES BOVIDÉS DOMESTIQUES
,
-
-
-
--
-
rc
Am, Biol. alzim. Bioch. Bioph., 1962, 2 (3), 251-263.
CALCUL D'ERREURS DANS L'INTERPRÉTATION
QUANTITATIVE DES ÉLECTROPHORÈSES DE SI~RUM
DES BOVIDÉS DOMESTIQUES
Institut d’l?lezrage et de .Ut!decine vék’rirtaire des Pays trq’Gm+
Lahoratoive izational de Recherches Gtérinaires, Llakar (.%@~al).
SOMMAIRE
1-n vue d’&:duer la précision avec laquelle on peut interpréter les électrophorks de s6rum de
ruminants pour lescluels les séparations sont en général très incomplètes, une étude mathématique
est conduite sur des électrophorégrammes artificiels reconstitués en faisant plus on moins chernucher
des courbes de Gauss, mathématiquement définies.
II en ressort clue les renseignements chiffrés fournis par I’électrophori*se
de sérum de bovidés
ne sont que des ordres de grandeur, en pwticulier en ce qui concerne les fractions intermédnires.
Nalgré la variété des tampons utilisés, et les modifications apportées à leur
composition, leur pH et leur force ionique, nous n’avons pu obtenir jusqu’à mainte-
nant des séparations convenables des protéines sériclues des ruminants domestiques
tropicaux. &ABOUCHE, 1962 a ; Rapport sur l’activité du I,aboratoire national de
Recherches vétérinaires, Dakar, 1959-60.)
Un examen attentif de la littérature ayant trait à ce domaine nous a montré que
les différents auteurs se sont heurtés aux mêmes difficultés et que les électrophoré-
grammes publiés sont, dans l’ensemble, de la même veine que les nôtres. Ils ont
cependant fait l’objet de nombreuses interprétations quantitatives. 11 nous a donc
paru souhaitable d’évaluer l’erreur liée aux séparations imparfaites lorsque la mesure
des surfaces est effectuée par une des méthodes suivantes :
a) tracé à la main levée des contours et mesure planimétrique ;
b) méthode mathématique de tracé et de détermination des surfaces &ABOUCHE,
1962 b) ;
c) utilisation des intégrateurs automatiques.
252
C. I,ABOUCHE
1. -- MÉTHODE
Quatre courbes gaussiennes de types différents ont servi lu reconst ittter des élcctrol,horégratrunes.
Les courbes répondent à la formule générale :
La signification des Daramètres K et 11 a été lxécisée dans tt n travxil antérieur (hlWuc:IlE. 1962 b).
Leur val&r est consign& dans le tableau ci-apkès :
--~.
-----___-~
-
-
-
(‘ottrbe de type
Sylnl~ole
k
n
I_.~.~
-
-
Albumine . . .
Ii
:I!),x:l
fi,10
cc globuline . . .
2x,15
2.13
p glohrdine . . .
B
:11,1'1
3,fL!
y plobuline . . . .
Y
'17,x5
$3::
_-.- ~-.
- - - - -
--..-- ----.-.
Au niveau des zones de chevauchement , le tracé de I’électroy)horégranlnic est obtenu en faisant
la somme des ordonnées pour chaque point de l’axe de base (fig. t ct 3).
Les positions respectives suivantes ont &é retenues :
10 les courbes sont isolées les unes des autres ;
20 les courbes empiètent les unes sur les autres, mais la hauteur des sommets n’est pas modifiée
par cette interférence (fig. 1);
3” empi6tement des courbes avec perturbation de l’ordonnée des sommets (fig. 3).
Dans chaque cas, la surface des courbes a été déterminée à partir de l’électrophorégratr111IC et
les chiffres obtenus ont été comparés aux valeurs réelles des courbes isolées. Nous avons obtenu les
résultats ci-après :
I I . - RÉSUIJ?ATS
A. - LEscoumEs~13sE CHEVAUCHENTPAS
Cette disposition toute théorique, est envisagée ici pour situer la précision avec
laquelle on détermine la surface des courbes, par planimétrie ou mathématiquement.
I. - Détermination @ahaétrique des surfaces
Nous avons disposé, dans ces mesures d’un planimètre OIT, dont chaque division
correspondait à une surface de 4 mm2. I,es surfaces de chacune des courbes, ainsi
que celle d’un carré de I cm de côté, ont été déterminées. La moyenne et l’écart type
des résultats sont consignés dans le tableau ci-contre. Les chiffres correspondent
aux divisions du planimètre.
On remarquera que 0 est presque constant et que la détermination des surfaces
se fait avec une erreur de 15 mm2, environ. L’erreur relative sera d’autant plus
faible que les surfaces seront plus grandes.
tiI,ECTROPHORÈSE DTJ SÉ:RUM DE BOVIN
253
Courbe CL
Courbe y
201
<575
2 0 0
57x
,197
576
,137
576
100
5 7 5
l 97
575
197
5 7 8
197
577
zoo
5 7 2
1 9 8
576
196
5 7 8
~-_ - --~
. .
luopnle y: 0 * .
%,9 _t 1,8
575,5 -J: 1,9
Surface, mm2 . .
Y9,6
2 302
i
^L. 2 cr,rnrn2....
Ii
1 5
-~.~
-.~.~_
2. - Détermination
mathématique
I,a précision de la méthode a déjà été exposée &ABOUCHE, 1962 b). Rappelons
simplement que l’erreur relative est d’autant plus faible que la hauteur du sommet
de la courbe mesurée est plus élevée et que le deuxième point choisi pour le calcul
est d’autant plus éloigné de ce sommet. Pour des courbes aplaties (FZ faible), l’erreur
peut être importante si on suppose que les ordonnées sont mesurées à 0,5 mm près.
B. - 1;ES COURBES SE CHEVAUCHENT SANS QUE I,ES ORDONNtiES DES SOMMETS
EN SOIENT MODIFIÉES (fig. 1)
1. - Modification entraz”nées sw le tracé de la courbe
Il est pratiquement impossible d’envisager les aléas du tracé à main levée. Aussi
admettons-nous qu’il est identique à celui fourni par la méthode mathématique, ce
qui revient à supposer que, dans tous les cas, l’opérateur dessinera bien une courbe
de Gauss rigoureuse.
,K= 39,83
FIG. I. - Reconstitution d’un électrophorégvamrne
d partir de courbes de Gauss mathématiquement dé/Xes
Les courbes empiètent les unes sur les autres mais la hauteur des sommets n’est pas modifiée.
--
2.54
C. L4BOUCHE
La’précision dépendra alors du choix des points de l’électrophorégramme, servant
de base au calcul de la courbe. Celle-ci s’éloignera plus ou moins de la courbe réelle suivant
queLle deuxième point sera compris ou non dans une zone intéresséepar l’empiétement.
Si ce point est situé en zone (( saine » ; l’ordonnée des points calculés sera connue
à & E près, en appelant E l’erreur de mesure effectuée dans la déterminaion de l’or-
donnée du sommet et du deuxième point &ABOUCHE, 1962 6).
Par contre, si ce point se trouve en zone N perturbée )), l’erreur de mesure portant
sur le sommet restera égale à E, tandis que l’on notera une augmentation 2 de l’ordon-
née du 2e point. Si 2% est l’abscisse d’un point de la courbe dont on veut connaître
l’ordonnée TJ,, celle-ci sera entachée d’une erreur par excès ATT,, dont on peut démontrer
qu’elle est égale à :
AU, zz ‘?a (’ - E)
~-- + E
Z
(Z, abscisse du 2~ point de référence).
AU, sera d’autant plus faible que Z, sera plus petit (donc que ce point sera plus
près du sommet) et que Z sera plus grand (pour p constant). La courbe calculée sera
plus évasée que la courbe réelle et la valeur de AU, dépendra, pour Z, donné, de la
valeur du rapport A/n, qui est essentiellement variable d’une courbe à une autre.
AU, est donc susceptible de prendre des valeurs extrêmement variées, que l’on
peut cependant normaliser, en simplifiant la fraction ci-dessus par Kjn. Il vient alors :
xn (0 -- E)
AU, = -ix- + E
?G~ et x représentent les abscisses des points de la courbe normale qui correspondent
aux points d’abscisse Z,, et Z.
/
0,I
0,5
1.0
1.5
2.0
2,5
x,
FIG. 2. - liseur dans le calcul de I’ordonnée d’un point lorspe les courbes constiiulizrcs de
E’Ylectrophoré~ra~~~~~~e se chevauchent saxs que la hauteur des sorw~eis en soit modi/iée
Les points servant au calcul de la courbe sont le sommet et le point dont l’ordonnée est Cgale:h la moitié
de 1 ‘ordonnée du sorrmlct.
AU mm = erreur absolue portant sur l’ordonnée d’un point ;
xn
ZZZ
abscisse du point de la courbe normale homologue du point calculs ;
x
= abscisse du point de la courbe normale homologue du deuxi&! llomt de r6férence servant au calcul
de la courbe {le premier point est le sommet) ;
P
= augmentation eu mm de l’ordonnée du point x, provoqu6 par le chevauchement ;
E
ZZZ augmentation de l’ordonnée du soInmet provoquée par le chevauchement.
ÉL~~CTROPH~RÈSE n u stiRuM DB BovIN
25.5
AU, a été calculé pour des valeurs positives de xn, en supposant x fixe et
égal à 1,175 (ce qui revient à admettre que l’ordonnée 2 est égale à la moitié de l’or-
donnée du sommet), l’erreur L nulle et la déformaton p prenant des valeurs comprises
entre 1 et 10 mm (fig. 2).
En pratique l’erreur AU, sera à affecter au point d’abscisse ZIL = xn. kin.
2. - Modifications erztraîm!es SUY l’estimatio?z des swfaces des courbes
a) Déterminatio~z @aGmétrique.
Nous venons de voir que le tracé des courbes peut être sensiblement déformé
lorsque les fractions commencent à empiéter les unes sur les autres. Il s’ensuivra
obligatoirement des erreurs sensibles dans la mesure planimétrique.
Les déterminations directes effectuées sur notre modèle (fig. 1) nous ont montré
cependant que la surface totale de 1’~ électrophorégramme » était égale à la somme des
surfaces des courbes constitutives et que les surfaces d’empiétement sont égales aux
surfaces de l’électrophorégramme laissées en dehors de ces courbes.
b) Détermirtatiorc mathématique.
Erreur saw la mesure de In surface d’une fractiow - Nous avons montré ailleurs
(I,ABOC‘CHE, 1962 b) que pour une courbe de Gauss, de paramètre lz et w, la surface S
est égale à :
S = (k.+z.) (;) = k2
expression que l’on peut écrire encore :
Zac2 U,
’ = U - bc U,
et dans laquelle U, est l’ordonnée du sommet, U et Z sont les coordonnées du
deuxième point de référence, a et b sont les paramètres de la forme linéaire appro-
chée de la courbe normale (1) et c est une constante égale à 2,507 (2).
En remarquant que bc, d’une part, et ac2 d’autre part, sont des valeurs proches
de 1, l’expression donnant S peut se simplifier et s’écrire :
zuz
-*
s 2% u -- u,
S apparait donc comme une fonction simultanée de trois variables indépendantes,
s = f(Z,U,U,).
Nous voulons savoir de combien varie S, lorsque U subit une variation du. En
fait, nous calculerons la formule générale donnant la variation dS pour des varia-
(1) On peut, pour des calculs approchés, et pour des valeurs de x couprises entre - ~,4 et + 1,4, con-
fondre la courbe en cloche avec deux droites symétriques par rapport k l’axe des y :
y = + 0,181 105 x + 0 , 4 2 6 4 2 7
x i o a = oi181 105
--
)’ = - 0,181 105 x $- 0 , 4 2 6 4 2 7
x < 0 h = 0 , 4 2 6 4 2 7
(‘) c = r/ys : ys ordonnée du sonmet de la courbe normale = 0,398 942 3.
256
C. 1,ABOUCHE
tions concomitantes de trois variables ; cette formule nous servira, en effet, pour
la suite de l’exposé. On sait que :
dS = f; dz + ,#u du + f:, du,
dS est la différentielle totale de la fonction.
~2.5, dU, dlJs, les variations des variables ;
fi, fi-, fbs sont, respectivement, les dérivés de S par rapport & Z, à U, à U,, dans
chaque cas le calcul de la dérivée s’effectuant en considérant les autres variables
comme des constantes.
Sans entrer dans le détail des calculs, sachons que :
I,a formule générale de l’erreur absolue dS sera :
Si on limite le problème aux variations du. l’erreur absolue sur la surface sera :
L’erreur relative possède une portée plus générale et on peut écrire :
.
Pour une courbe donnée, l’erreur relative est directement proportionnelle à la défor-
mation du, subie par le deuxième point de référence, et inversement proportionnelle
à u-u, ; ce qui revient à dire que l’erreur relative augmente lorsque le ze point
se rapproche du sommet. En fait, dans ce mouvement dU diminue et la connaissance
de la variation exacte de l’erreur relative nécessiterait une étude spéciale qui ne
s’impose pas absolument. Car, en pratique, la valeur exacte S est moins utile que le
rapport S/E?, CS représentant la somme des surfaces des différentes courbes consti-
tuant l’électrophorégramme.
Nous nous bornerons à signaler la forme simplifiée prise par dS/S, dans le cas où
l’ordonnée du deuxième point de référence est égale a la moitié de U,.
dS
2 dU
_-.-.
s - us
Erreur da1c.s la déterminatiofz du ra@ort SjES. - A la suite de l’analyse électro-
phorétique d’un sérum, on exprime la concentration relative des différentes fractions
séparées par le rapport S/ES, de la surface de la courbe correspondant à la fraction1
considérée, à la surface totale de l’électrophorégramme.
(l) Le calcul de j;dU ne prhage pas du signe de dU. f&SJ peut, donc prendre des valeurs posilives
ou nfgatives. Comme nous calculons ici une erreur maxima, nous devons nous placer dans le cas le plus défa-
vorable c’est-à-dire celui oh l’erreur liée h dU s’ajoute à celles provoquées par Ics autres varialles. Ceci revient
à envisager la valeur absolut des erreurs et non leur valeur algébrique.
ÉLI~CTROPH~RÈSE DU SÉRUM DE BOVIN
257
Si Sr est la surface d’une courbe de Gauss quelconque, CSf la somme des surfaces
des courbes, on aura :
Sf
P = cTf’
Lorsque, à la suite des empiétements, les courbes tracées sont différentes des
courbes réelles, Sf est devenue Si ; XSf est égale à ZSf et on aura :
5%
P’ = 2%;
En appelant P’ - P = dP, l’erreur relative sur les pourcentages sera :
dP
Sf
S f
- - .zzz --- _ -.-
P
!2s;
CSf, ) x
dP
-ZZZ SS + dSf
__.._~ .---
P
(\\ Sf
et :
ap
I + pSfisf)
-P = I+(CdSfIzq - I
ap
-= (dsfIsf) - wsfIxsf) .
P
I + wsfpsf)
Pour simplifier les calculs, nous supposons ici que asf = xasf (l’erreur ne porte
que sur une courbe à l’exclusion de toutes les autres). L’égalité précédente devient
alors :
ap
(dsflsf) - (dsfwf)
-
P = --I + (dSf/CSf)
dP
asI [(I/Ss) - (aSfI.
P = --Ï+-(dSf/CSf)
On peut, dans cette expression faire disparaître CSf et faire apparaître P :
ap
dSf [(Ii%) - (Sf/=f x WI
-=
P
1 + (SdWWW
ap
dSf [(Ii%) - WS)l
(dsflw(I - p)
-zz ~~
-~
P
I -j-- (PdSf/Sf) - = (&I%)F’ + (S&%)I
d’où
ap
1 --P
---.
P-
Sf
p + x3-f
Nous avons vu que dSf /Sf est une fonction de du, terme que l’on peut faire appa-
raître à son tour dans l’égalité ci-dessus. Il nous sera alors possible de déterminer
quelle sera la valeur maxima tolérable de dU pour une erreur relative dP/P, donnée
à l’avance.
- . -
--I_
258
C. LABOUCHE
L’équation exacte dP/P = f(dIJ) est compliquée. Nous la simplifierons en IIOLIS
plaçant dans le cas particulier ou le deuxième point ayant servi au calcul de la courbe
possède une ordonnee égale à la moitié de l’ordonnee IJ, du sommet. Dans ces condi-
tions :
dSf
zdIJ
*f
s - u,
Or, en partant de l’équation donnant dPjP, on peut tcrire :
-
dSs
dP/P
On en déduira
&J - J!Yw!4.- .
I -- P[I + (dP/P)]
NOLIS avons calculé dU pour chacune de nos courbes et pour des erreurs relatives
sur les pourcentages variant de 5 à 20 p. IOO. I,es résultats en mm sont consignés dans
le tableau ci-dessous :
----..--.---.--~
- - - - ~--- ..--. - - -ZZZ
l
1’
0,05
------_. -. _ _
(111111)
-
-.-.-
-
-
.-..
-_ --._ -.----
-.--
x
!lï
I),%
3.5
2%
O,l’I
0.7
.
P
45
(417
I,‘t
Y
54
o,fl I
2, ‘t
--~.. -- ~..._~
.-.--
On remarquera que dU diminue avec U,. Pour les fractions à sommet élevé,
une déformation relativement large peut être tolérée. 11 n’en est pas de m&ne pour
les fractions intermédiaires, beaucoup plus défavorisées et dont les versants, dans
la pratique, peuvent être simultanément perturbes par les fractions voisines.
Il faudra donc exploiter avec circonspection ces diagrammes, bien que la pertur-
bation n’intéresse pas ici la hauteur des sommets. Dans la pratique, au demeurant,
il est difficile a priori, de savoir si cette condition particulière est réalisée. C’est pou-
quoi nous avons calculé une formule générale donnant la distance séparant dans cette
configuration, deux sommets successifs.
Détermimh’on de la distance s$xrrant deux sommt~ts mxessijs. .- I,orsque cleus
courbes se chevauchent sans que les sommets y soient intéressés, la distance séparant
les sommets sera au moins égale à l’abscisse z du point de la courbe la plus évasée (celle
pour laquelle /S/I~ est le plus élevé), dont l’ordomlée sera égale à une \\.aleur limite
faible, E (‘).
On aura donc :
E = .k!! p*syw =3 u & nw, 2&“.
J27-c
.
(1) 011 ne peut cn effet calculer l’abscisse pour y = o, cet1.c vahr n’étant obtenue que pur x a I I n
ÉLECTROPHOR~~E
nu skm nE BOVIN
259
Ce que l’on peut encore écrire :
d’où :
z” = $ (Log Us - Log E ) .
Soit, en convertissant en logarithmes décimaux
-~
J
Nous avons calculé z dans le cas de nos courbes, en pOSalIt E = 0, j mm, ValeUr
correspondant à l’erreur que l’on peut commettre en mesurant les ordonnées.
L’esamen des rapports /~/PI montre, en fait, que les risques d’empiétement rési-
dent au niveau de la courbe E, aux dépens de A et de 3 et au niveau de y aux dépens
de (1. I,‘application de la formule précédente nous indique que le sommet d’x doit se
trouver au moins à 34 mm des sommets de A et de $ et que celui cle y doit ètre distant
du sommet de s d’au moins 4s mm (fig. 1). On notera l’aspect très étalé de l’électro-
phorégramme, aspect assez inhabituel lorsqu’il s’agit des sérums de bovidés pour
lesquels le diagramme est beaucoup plus compact.
Quoi qu’il en soit, après avoir mesuré du, nous avons apprécié les erreurs rela-
tives dP/P entraînées par les perturbations réciproques A et c(, cc et F, p et CI, p et y.
I,‘erreur dP/P n’a pas été calculée pour A et pour y, étant donné qu’il est possible
de déterminer ces courbes en dehors de tout empiétement en choisissant le deuxième
point sur les versants extérieurs de ces courbes.
Pour les courbes intermédiaires, on voit que dans les meilleures conditions
l’erreur ne saurait être inférieure à 10-15 p. x00.
c) Détermiwtio+t par les intégrateurs automatiques.
I,a précision de la mesure même n’est pas ici en cause. Nous voulons seulement
rappeler que ces mécanismes apprécient, pour chaque fraction, non pas la surface
exacte de la courbe de Gauss, mais une surface approchée qui est celle délimitée par
le tracé de l’électrophorégramme et les verticales menées par les points d’inflexion
(fig. 3).
--
.
260
C. LABOUCHE
Les résultats obtenus par planimétrie, pour ces surfaces, dans notre modèle sont
les suivants :
-.-.. -
-~~ ~ -..-...-.
--.-.. -
~
courlJe
)
Surfwe en 1111112 /
Ii :-=-=
~--~ -.; _ - -.- --- _-..
.._~~._
l
A
1 680
L!!J,‘t
(;Cl)
11.2
B
/
1 10.)
I!l.2
Y
2 300
'II),?
1~ _ __.
1,es pourcentages exacts sont respectivement de ~8, 14, 17 et 41 p. I~I). I,‘erreur
maxima se rencontre à nouveau clans les fractions intermédiaires (près de 30 p. 100
pour M, et 10 p. 100 pour p).
En conclusion,
lorsque les courbes se chevauchent sans que le niveau des sommets
en soit modifié, la détermination des surfaces en pourcentage de la surface totale
est déjà entachée d’erreur. Celle-ci peut atteindre 15 à zo 13. IOO, quelle que soit la
méthode utilisée. IYe est surtout sensible au niveau des fractions intermédiaires.
Au demeurant, l’application pratique de ces résultats reste réduite, car cette disposi-
tion respective des courbes ne se rencontre pour ainsi dire pas avec le sérum des bovi-
dés. I)ans ce cas, on assiste à un regroupement des fractions lentes avec formation
d’un massif protéinique compact.
c. - LES COURBES SE CHEVAUCHE%?
.
ET 1.A HAUTEUR DES SC )MMETS EST MODIFIEE (fig. 3)
*
1. - Llétermiwation
planiwaétrique des surfaces
I,es sources d’erreur sont multiples dont la principale réside dans le fait que le
tracé de la courbe s’appuie sur un sommet d’altitude erronée.
De plus, nous allons voir que la neutralisation des surfaces de chevauchement
est inopérante et que la somme des surfaces des courbes est différente de la surface
de l’électrophorégramme reconstitué.
Nous avons, à cet effet, réalisé la disposition suivante de nos courbes.
I,es sommets cc et y ne sont pas perturbés. Celui de p subit une légère translation
vers y en raison de l’intervention simultanée de CI et y.
En nous fixant sur les nouveaux sotnmets, sur les versants non perturbés de A et y
et sur le versant de 9 tourné vers a, les courbes de Gauss ont été construites mathéma-
ÉIJ~CTKOPHORÈSE Du &RUM DE Rovm
2UI
tiquement (nous nous sommes placés dans le cas où l’opérateur tracerait à main levée
une courbe exacte). Ces surfaces de chevauchement et les surfaces extérieures aux
courbes ont été mesurées au planimètre.
Il est facile de voir que les surfaces de chevauchement sont très largement
supérieures aux surfaces extérieures {3 à 4 fois pour M 3 t p et /3 -f +- y).
Par conséquent l’opérateur se trouve dans l’alternative suivante : tracer des
courbes de Gauss en négligeant les neutralisations ou bien neutraliser les surfaces
en renonçant à dessiner des courbes exactes. Dans les deux cas, il tombe dans l’erreur.
L)e plus les courbes calculées ou dessinées ne sont plus les courbes vraies puisque
basées sur des points de référence dont les coordonnées ont été falsifiées.
2. - Détermiv6ation mathématique
Erreur SUY la mesure de la surface S. - L’erreur relative est donnée par la
formule générale déjà calculée, en annulant dz.
et :
Pour U = U,/z, le 2" terme de cette expression s’annule et la formule de l’erreur est
identique à celle que nous avons déjà rencontrée, en absence de perturbation du
sommet. L’erreur est ici minimale, mais, en pratique, elle ne saurait être atteinte que
262
C. LABOUCHE
fortuitement, car Us est inconnu, ainsi par conséquent, que LJ,jz. Par ailleurs, cette
valeur minimale sera inéluctablement supérieure à celle rencontrée auparavant car
la valeur de dU est forcément plus importante que dans le cas précédent.
Erreur da%~ la déterîni+sation de S/ES. -- La valeur de dP/P est donnée pour
U = US/~ par une formule identique à celle que nous avons rencontrée, à la différence
près que la valeur de dU est ici plus forte.
dP
1 - - P
- -.- ---.
P - - P -+- 2;tj
Pour avoir une idée de l’erreur relative susceptible d’intervenir dans ces condi-
tions, nos courbes ont été rapprochées de 5 mm les unes des autres, à partir de la
position pr&éclente pour laquelle la hauteur des sommets restait intouchée (fig. 3).
I,‘ordonnée des points US/2 a été augmentée de 8 mm pour E et de y,5 mm pour 3.
Ceci entraîne une erreur relative sur le pourcentage de plus de 50 p. IOO pour il et de
plus de 25 p. 100 pour p.
Ces données numériques sont sans doute inférieures à la réalité de la pratique
dans laquelle, en particulier le chevauchement des y et $ est tel que le sommet 9 ne
constitue le plus souvent qu’un ressaut du massif des globulines. On peut concevoir
avec quelle piètre précision les concentrations relatives peuvent être déterminées.
I,a mesure des surfaces effectuée dans les conditions précisées au chapitre précb-
.
dent sur le modèle dont nous venons de fixer les caractéristiques en (2), a fourni les
a
résultats ci-après :
Ici à nouveau l’erreur porte sur les fractions intermédiaires pour atteindre des
valeurs telles qu’il devient déraisonnable de fixer un chiffre au pourcentage de ces
fractions. A et y paraissent épargnés, mais ce n’est qu’une illusion due à la disposition
favorable des courbes que nous avons réalisée, afin de conserver une certaine indivi-
dualisation des sommets.
III. -- cONcI,USION
Nous avons cherché à donner un ordre de grandeur de la précision avec laquelle
peut être connue la concentration relative des fractions protéiques des sérums de
Bovidés domestiques soumis à l’électrophorèse. Pour ce faire, nous avons utilisé des
~~LECTR~PHORÈSI~ 1x7 S&RUM ~313 B O V I N
263
:
courbes de Gauss, mathématiquement définies et proches de celles que l’on peut réel-
lement observer. Des électrophorégrammes artificiels ont été reconstitués en faisant
plus ou moins chevaucher ces courbes les unes sur les autres. On a pu voir ainsi que :
10
.
lorsque l’empiétement des courbes s’effectue sans modification de l’ordonnée
des sommets, une erreur s’introduit au niveau des fractions intermédiaires, a et 7,
pouvant atteindre 30 p. IOO.
20 lorsque la hauteur des sommets est modifiée, la méthode manuelle est systé-
matiquement fausse. L’erreur liée à l’utilisation de la méthode mkthématique s’ampli-
fie tandis que l’intégration automatique fournit des donn.ées très approximatives.
Dans tous nos modèles, les sommets sont restés cependatit individualisés. Or,
sur les électrophorégrammes de sérum de Ruminants, le sommet K est le plus souvent
inapparent tandis que celui de la fraction (j ne se traduit que par un ressaut plus ou
moins bien délimité du versant des y globulines. On peut donc se demander, dans ces
conditions quelle confiance on peut accorder aux déterminations’quantitatives
corres-
pondantes.
Par conséquent, en attendant la mise en jeu de techniques plus précises, il
serait sage de n’accorder aux renseignements chiffrés fournis : par l’électrophorèse
du sérum des Bovidés que la valeur d’ordres de grandeur et plus particulièrement en
ce qui concerne les fractions intermédiaires.
Rrp $Oi*V publiratioz PI1 awil 1962.
SUMMARY
TIIE CALCULATlOh!
O F ERRORS IN THE QCANTITATIVE INTERPRE’kATION O F T I I E
ELECTROPIIORESIS OF THE SERUM OF DOMESTIC BOVINES
The proteins of the blood of the domestic ruminants are only imperfectly separated bv elec-
troahoresis. Yerv often the neak of the cc-elobulins is not clearlv visible and the Q-nlobuI<ns are
net‘ distinctly isilated from {he y-globulins~LA~~OI’~IrE, 1962 a ; kapport sur l’activ’itë du Labora-
toire national de Recherches vétérinaires, Dakar, 19j9-1960).
An effort was made to determine the prccision with which, under these conditions, the relative
concentration of each fraction could be estimated when the following methods were used for measu-
ring the surfaces :
a) free-hand sketches of the contours and mnnual planimetry ;
b) mathematical (LMKJUCIIE, 1962, b) ;
6) automatic integrators.
In pursuance of this abject the electrophoretic di?gyams were reconstituted by more or less
overlapping the Gauss curves after mathematical defimtlon. l’he following results were obtained :
I. When the encroachment does not modify the height of the peaks, the error in the case of
cc-and P-globulins rnay reach 30 p. 100 ;
2. When the peaks are disturbed thc hand method gives systematically incorrect results, while
the mathematical and automatic integration methods yield only approximate figures.
Ilence the quantitative interpretation
of the electrophoresis of bovid’ serum will inclicate only
orders of magnitude, especially in SO far as the intermediate fractions are concerned.
1
RÉFÉRENCES BIBI,IOGRAPHIQUES
LABOLXHE
Cl., 1962 a.
Mthode d’appr&istion de la séparation des fractions obtenues par micro-électro-
.
phorése en milieu liquide.
Ann. Inst. Pasteur, 102, 555-j60S
.
LABOCCHE
Cl., 1962 6.
M?chode mathématique d’interprftation quantitative des électrophortses sur papier.
.-Inn. IM. I’astelkY, 102, 561-566.
Rapport sur l’activité du Labomtoire national de Recherches vétérinaires de Dakar-Hann, 1959-1960.
Annales de Kologie animale. - 1962.
6
_ ---
.-
CALCULD'ERREURS DANS L'INTERPRÉTATION
QuANTITAT~~DEsÉLECTR~PI-I~RÈSESDESÉRUM
DES BOVIDÉS DOMESTIQUES
,
-
-
-
--
-
rc
Am, Biol. alzim. Bioch. Bioph., 1962, 2 (3), 251-263.
CALCUL D'ERREURS DANS L'INTERPRÉTATION
QUANTITATIVE DES ÉLECTROPHORÈSES DE SI~RUM
DES BOVIDÉS DOMESTIQUES
Institut d’l?lezrage et de .Ut!decine vék’rirtaire des Pays trq’Gm+
Lahoratoive izational de Recherches Gtérinaires, Llakar (.%@~al).
SOMMAIRE
1-n vue d’&:duer la précision avec laquelle on peut interpréter les électrophorks de s6rum de
ruminants pour lescluels les séparations sont en général très incomplètes, une étude mathématique
est conduite sur des électrophorégrammes artificiels reconstitués en faisant plus on moins chernucher
des courbes de Gauss, mathématiquement définies.
II en ressort clue les renseignements chiffrés fournis par I’électrophori*se
de sérum de bovidés
ne sont que des ordres de grandeur, en pwticulier en ce qui concerne les fractions intermédnires.
Nalgré la variété des tampons utilisés, et les modifications apportées à leur
composition, leur pH et leur force ionique, nous n’avons pu obtenir jusqu’à mainte-
nant des séparations convenables des protéines sériclues des ruminants domestiques
tropicaux. &ABOUCHE, 1962 a ; Rapport sur l’activité du I,aboratoire national de
Recherches vétérinaires, Dakar, 1959-60.)
Un examen attentif de la littérature ayant trait à ce domaine nous a montré que
les différents auteurs se sont heurtés aux mêmes difficultés et que les électrophoré-
grammes publiés sont, dans l’ensemble, de la même veine que les nôtres. Ils ont
cependant fait l’objet de nombreuses interprétations quantitatives. 11 nous a donc
paru souhaitable d’évaluer l’erreur liée aux séparations imparfaites lorsque la mesure
des surfaces est effectuée par une des méthodes suivantes :
a) tracé à la main levée des contours et mesure planimétrique ;
b) méthode mathématique de tracé et de détermination des surfaces &ABOUCHE,
1962 b) ;
c) utilisation des intégrateurs automatiques.
252
C. I,ABOUCHE
1. -- MÉTHODE
Quatre courbes gaussiennes de types différents ont servi lu reconst ittter des élcctrol,horégratrunes.
Les courbes répondent à la formule générale :
La signification des Daramètres K et 11 a été lxécisée dans tt n travxil antérieur (hlWuc:IlE. 1962 b).
Leur val&r est consign& dans le tableau ci-apkès :
--~.
-----___-~
-
-
-
(‘ottrbe de type
Sylnl~ole
k
n
I_.~.~
-
-
Albumine . . .
Ii
:I!),x:l
fi,10
cc globuline . . .
2x,15
2.13
p glohrdine . . .
B
:11,1'1
3,fL!
y plobuline . . . .
Y
'17,x5
$3::
_-.- ~-.
- - - - -
--..-- ----.-.
Au niveau des zones de chevauchement , le tracé de I’électroy)horégranlnic est obtenu en faisant
la somme des ordonnées pour chaque point de l’axe de base (fig. t ct 3).
Les positions respectives suivantes ont &é retenues :
10 les courbes sont isolées les unes des autres ;
20 les courbes empiètent les unes sur les autres, mais la hauteur des sommets n’est pas modifiée
par cette interférence (fig. 1);
3” empi6tement des courbes avec perturbation de l’ordonnée des sommets (fig. 3).
Dans chaque cas, la surface des courbes a été déterminée à partir de l’électrophorégratr111IC et
les chiffres obtenus ont été comparés aux valeurs réelles des courbes isolées. Nous avons obtenu les
résultats ci-après :
I I . - RÉSUIJ?ATS
A. - LEscoumEs~13sE CHEVAUCHENTPAS
Cette disposition toute théorique, est envisagée ici pour situer la précision avec
laquelle on détermine la surface des courbes, par planimétrie ou mathématiquement.
I. - Détermination @ahaétrique des surfaces
Nous avons disposé, dans ces mesures d’un planimètre OIT, dont chaque division
correspondait à une surface de 4 mm2. I,es surfaces de chacune des courbes, ainsi
que celle d’un carré de I cm de côté, ont été déterminées. La moyenne et l’écart type
des résultats sont consignés dans le tableau ci-contre. Les chiffres correspondent
aux divisions du planimètre.
On remarquera que 0 est presque constant et que la détermination des surfaces
se fait avec une erreur de 15 mm2, environ. L’erreur relative sera d’autant plus
faible que les surfaces seront plus grandes.
tiI,ECTROPHORÈSE DTJ SÉ:RUM DE BOVIN
253
Courbe CL
Courbe y
201
<575
2 0 0
57x
,197
576
,137
576
100
5 7 5
l 97
575
197
5 7 8
197
577
zoo
5 7 2
1 9 8
576
196
5 7 8
~-_ - --~
. .
luopnle y: 0 * .
%,9 _t 1,8
575,5 -J: 1,9
Surface, mm2 . .
Y9,6
2 302
i
^L. 2 cr,rnrn2....
Ii
1 5
-~.~
-.~.~_
2. - Détermination
mathématique
I,a précision de la méthode a déjà été exposée &ABOUCHE, 1962 b). Rappelons
simplement que l’erreur relative est d’autant plus faible que la hauteur du sommet
de la courbe mesurée est plus élevée et que le deuxième point choisi pour le calcul
est d’autant plus éloigné de ce sommet. Pour des courbes aplaties (FZ faible), l’erreur
peut être importante si on suppose que les ordonnées sont mesurées à 0,5 mm près.
B. - 1;ES COURBES SE CHEVAUCHENT SANS QUE I,ES ORDONNtiES DES SOMMETS
EN SOIENT MODIFIÉES (fig. 1)
1. - Modification entraz”nées sw le tracé de la courbe
Il est pratiquement impossible d’envisager les aléas du tracé à main levée. Aussi
admettons-nous qu’il est identique à celui fourni par la méthode mathématique, ce
qui revient à supposer que, dans tous les cas, l’opérateur dessinera bien une courbe
de Gauss rigoureuse.
,K= 39,83
FIG. I. - Reconstitution d’un électrophorégvamrne
d partir de courbes de Gauss mathématiquement dé/Xes
Les courbes empiètent les unes sur les autres mais la hauteur des sommets n’est pas modifiée.
--
2.54
C. L4BOUCHE
La’précision dépendra alors du choix des points de l’électrophorégramme, servant
de base au calcul de la courbe. Celle-ci s’éloignera plus ou moins de la courbe réelle suivant
queLle deuxième point sera compris ou non dans une zone intéresséepar l’empiétement.
Si ce point est situé en zone (( saine » ; l’ordonnée des points calculés sera connue
à & E près, en appelant E l’erreur de mesure effectuée dans la déterminaion de l’or-
donnée du sommet et du deuxième point &ABOUCHE, 1962 6).
Par contre, si ce point se trouve en zone N perturbée )), l’erreur de mesure portant
sur le sommet restera égale à E, tandis que l’on notera une augmentation 2 de l’ordon-
née du 2e point. Si 2% est l’abscisse d’un point de la courbe dont on veut connaître
l’ordonnée TJ,, celle-ci sera entachée d’une erreur par excès ATT,, dont on peut démontrer
qu’elle est égale à :
AU, zz ‘?a (’ - E)
~-- + E
Z
(Z, abscisse du 2~ point de référence).
AU, sera d’autant plus faible que Z, sera plus petit (donc que ce point sera plus
près du sommet) et que Z sera plus grand (pour p constant). La courbe calculée sera
plus évasée que la courbe réelle et la valeur de AU, dépendra, pour Z, donné, de la
valeur du rapport A/n, qui est essentiellement variable d’une courbe à une autre.
AU, est donc susceptible de prendre des valeurs extrêmement variées, que l’on
peut cependant normaliser, en simplifiant la fraction ci-dessus par Kjn. Il vient alors :
xn (0 -- E)
AU, = -ix- + E
?G~ et x représentent les abscisses des points de la courbe normale qui correspondent
aux points d’abscisse Z,, et Z.
/
0,I
0,5
1.0
1.5
2.0
2,5
x,
FIG. 2. - liseur dans le calcul de I’ordonnée d’un point lorspe les courbes constiiulizrcs de
E’Ylectrophoré~ra~~~~~~e se chevauchent saxs que la hauteur des sorw~eis en soit modi/iée
Les points servant au calcul de la courbe sont le sommet et le point dont l’ordonnée est Cgale:h la moitié
de 1 ‘ordonnée du sorrmlct.
AU mm = erreur absolue portant sur l’ordonnée d’un point ;
xn
ZZZ
abscisse du point de la courbe normale homologue du point calculs ;
x
= abscisse du point de la courbe normale homologue du deuxi&! llomt de r6férence servant au calcul
de la courbe {le premier point est le sommet) ;
P
= augmentation eu mm de l’ordonnée du point x, provoqu6 par le chevauchement ;
E
ZZZ augmentation de l’ordonnée du soInmet provoquée par le chevauchement.
ÉL~~CTROPH~RÈSE n u stiRuM DB BovIN
25.5
AU, a été calculé pour des valeurs positives de xn, en supposant x fixe et
égal à 1,175 (ce qui revient à admettre que l’ordonnée 2 est égale à la moitié de l’or-
donnée du sommet), l’erreur L nulle et la déformaton p prenant des valeurs comprises
entre 1 et 10 mm (fig. 2).
En pratique l’erreur AU, sera à affecter au point d’abscisse ZIL = xn. kin.
2. - Modifications erztraîm!es SUY l’estimatio?z des swfaces des courbes
a) Déterminatio~z @aGmétrique.
Nous venons de voir que le tracé des courbes peut être sensiblement déformé
lorsque les fractions commencent à empiéter les unes sur les autres. Il s’ensuivra
obligatoirement des erreurs sensibles dans la mesure planimétrique.
Les déterminations directes effectuées sur notre modèle (fig. 1) nous ont montré
cependant que la surface totale de 1’~ électrophorégramme » était égale à la somme des
surfaces des courbes constitutives et que les surfaces d’empiétement sont égales aux
surfaces de l’électrophorégramme laissées en dehors de ces courbes.
b) Détermirtatiorc mathématique.
Erreur saw la mesure de In surface d’une fractiow - Nous avons montré ailleurs
(I,ABOC‘CHE, 1962 b) que pour une courbe de Gauss, de paramètre lz et w, la surface S
est égale à :
S = (k.+z.) (;) = k2
expression que l’on peut écrire encore :
Zac2 U,
’ = U - bc U,
et dans laquelle U, est l’ordonnée du sommet, U et Z sont les coordonnées du
deuxième point de référence, a et b sont les paramètres de la forme linéaire appro-
chée de la courbe normale (1) et c est une constante égale à 2,507 (2).
En remarquant que bc, d’une part, et ac2 d’autre part, sont des valeurs proches
de 1, l’expression donnant S peut se simplifier et s’écrire :
zuz
-*
s 2% u -- u,
S apparait donc comme une fonction simultanée de trois variables indépendantes,
s = f(Z,U,U,).
Nous voulons savoir de combien varie S, lorsque U subit une variation du. En
fait, nous calculerons la formule générale donnant la variation dS pour des varia-
(1) On peut, pour des calculs approchés, et pour des valeurs de x couprises entre - ~,4 et + 1,4, con-
fondre la courbe en cloche avec deux droites symétriques par rapport k l’axe des y :
y = + 0,181 105 x + 0 , 4 2 6 4 2 7
x i o a = oi181 105
--
)’ = - 0,181 105 x $- 0 , 4 2 6 4 2 7
x < 0 h = 0 , 4 2 6 4 2 7
(‘) c = r/ys : ys ordonnée du sonmet de la courbe normale = 0,398 942 3.
256
C. 1,ABOUCHE
tions concomitantes de trois variables ; cette formule nous servira, en effet, pour
la suite de l’exposé. On sait que :
dS = f; dz + ,#u du + f:, du,
dS est la différentielle totale de la fonction.
~2.5, dU, dlJs, les variations des variables ;
fi, fi-, fbs sont, respectivement, les dérivés de S par rapport & Z, à U, à U,, dans
chaque cas le calcul de la dérivée s’effectuant en considérant les autres variables
comme des constantes.
Sans entrer dans le détail des calculs, sachons que :
I,a formule générale de l’erreur absolue dS sera :
Si on limite le problème aux variations du. l’erreur absolue sur la surface sera :
L’erreur relative possède une portée plus générale et on peut écrire :
.
Pour une courbe donnée, l’erreur relative est directement proportionnelle à la défor-
mation du, subie par le deuxième point de référence, et inversement proportionnelle
à u-u, ; ce qui revient à dire que l’erreur relative augmente lorsque le ze point
se rapproche du sommet. En fait, dans ce mouvement dU diminue et la connaissance
de la variation exacte de l’erreur relative nécessiterait une étude spéciale qui ne
s’impose pas absolument. Car, en pratique, la valeur exacte S est moins utile que le
rapport S/E?, CS représentant la somme des surfaces des différentes courbes consti-
tuant l’électrophorégramme.
Nous nous bornerons à signaler la forme simplifiée prise par dS/S, dans le cas où
l’ordonnée du deuxième point de référence est égale a la moitié de U,.
dS
2 dU
_-.-.
s - us
Erreur da1c.s la déterminatiofz du ra@ort SjES. - A la suite de l’analyse électro-
phorétique d’un sérum, on exprime la concentration relative des différentes fractions
séparées par le rapport S/ES, de la surface de la courbe correspondant à la fraction1
considérée, à la surface totale de l’électrophorégramme.
(l) Le calcul de j;dU ne prhage pas du signe de dU. f&SJ peut, donc prendre des valeurs posilives
ou nfgatives. Comme nous calculons ici une erreur maxima, nous devons nous placer dans le cas le plus défa-
vorable c’est-à-dire celui oh l’erreur liée h dU s’ajoute à celles provoquées par Ics autres varialles. Ceci revient
à envisager la valeur absolut des erreurs et non leur valeur algébrique.
ÉLI~CTROPH~RÈSE DU SÉRUM DE BOVIN
257
Si Sr est la surface d’une courbe de Gauss quelconque, CSf la somme des surfaces
des courbes, on aura :
Sf
P = cTf’
Lorsque, à la suite des empiétements, les courbes tracées sont différentes des
courbes réelles, Sf est devenue Si ; XSf est égale à ZSf et on aura :
5%
P’ = 2%;
En appelant P’ - P = dP, l’erreur relative sur les pourcentages sera :
dP
Sf
S f
- - .zzz --- _ -.-
P
!2s;
CSf, ) x
dP
-ZZZ SS + dSf
__.._~ .---
P
(\\ Sf
et :
ap
I + pSfisf)
-P = I+(CdSfIzq - I
ap
-= (dsfIsf) - wsfIxsf) .
P
I + wsfpsf)
Pour simplifier les calculs, nous supposons ici que asf = xasf (l’erreur ne porte
que sur une courbe à l’exclusion de toutes les autres). L’égalité précédente devient
alors :
ap
(dsflsf) - (dsfwf)
-
P = --I + (dSf/CSf)
dP
asI [(I/Ss) - (aSfI.
P = --Ï+-(dSf/CSf)
On peut, dans cette expression faire disparaître CSf et faire apparaître P :
ap
dSf [(Ii%) - (Sf/=f x WI
-=
P
1 + (SdWWW
ap
dSf [(Ii%) - WS)l
(dsflw(I - p)
-zz ~~
-~
P
I -j-- (PdSf/Sf) - = (&I%)F’ + (S&%)I
d’où
ap
1 --P
---.
P-
Sf
p + x3-f
Nous avons vu que dSf /Sf est une fonction de du, terme que l’on peut faire appa-
raître à son tour dans l’égalité ci-dessus. Il nous sera alors possible de déterminer
quelle sera la valeur maxima tolérable de dU pour une erreur relative dP/P, donnée
à l’avance.
- . -
--I_
258
C. LABOUCHE
L’équation exacte dP/P = f(dIJ) est compliquée. Nous la simplifierons en IIOLIS
plaçant dans le cas particulier ou le deuxième point ayant servi au calcul de la courbe
possède une ordonnee égale à la moitié de l’ordonnee IJ, du sommet. Dans ces condi-
tions :
dSf
zdIJ
*f
s - u,
Or, en partant de l’équation donnant dPjP, on peut tcrire :
-
dSs
dP/P
On en déduira
&J - J!Yw!4.- .
I -- P[I + (dP/P)]
NOLIS avons calculé dU pour chacune de nos courbes et pour des erreurs relatives
sur les pourcentages variant de 5 à 20 p. IOO. I,es résultats en mm sont consignés dans
le tableau ci-dessous :
----..--.---.--~
- - - - ~--- ..--. - - -ZZZ
l
1’
0,05
------_. -. _ _
(111111)
-
-.-.-
-
-
.-..
-_ --._ -.----
-.--
x
!lï
I),%
3.5
2%
O,l’I
0.7
.
P
45
(417
I,‘t
Y
54
o,fl I
2, ‘t
--~.. -- ~..._~
.-.--
On remarquera que dU diminue avec U,. Pour les fractions à sommet élevé,
une déformation relativement large peut être tolérée. 11 n’en est pas de m&ne pour
les fractions intermédiaires, beaucoup plus défavorisées et dont les versants, dans
la pratique, peuvent être simultanément perturbes par les fractions voisines.
Il faudra donc exploiter avec circonspection ces diagrammes, bien que la pertur-
bation n’intéresse pas ici la hauteur des sommets. Dans la pratique, au demeurant,
il est difficile a priori, de savoir si cette condition particulière est réalisée. C’est pou-
quoi nous avons calculé une formule générale donnant la distance séparant dans cette
configuration, deux sommets successifs.
Détermimh’on de la distance s$xrrant deux sommt~ts mxessijs. .- I,orsque cleus
courbes se chevauchent sans que les sommets y soient intéressés, la distance séparant
les sommets sera au moins égale à l’abscisse z du point de la courbe la plus évasée (celle
pour laquelle /S/I~ est le plus élevé), dont l’ordomlée sera égale à une \\.aleur limite
faible, E (‘).
On aura donc :
E = .k!! p*syw =3 u & nw, 2&“.
J27-c
.
(1) 011 ne peut cn effet calculer l’abscisse pour y = o, cet1.c vahr n’étant obtenue que pur x a I I n
ÉLECTROPHOR~~E
nu skm nE BOVIN
259
Ce que l’on peut encore écrire :
d’où :
z” = $ (Log Us - Log E ) .
Soit, en convertissant en logarithmes décimaux
-~
J
Nous avons calculé z dans le cas de nos courbes, en pOSalIt E = 0, j mm, ValeUr
correspondant à l’erreur que l’on peut commettre en mesurant les ordonnées.
L’esamen des rapports /~/PI montre, en fait, que les risques d’empiétement rési-
dent au niveau de la courbe E, aux dépens de A et de 3 et au niveau de y aux dépens
de (1. I,‘application de la formule précédente nous indique que le sommet d’x doit se
trouver au moins à 34 mm des sommets de A et de $ et que celui cle y doit ètre distant
du sommet de s d’au moins 4s mm (fig. 1). On notera l’aspect très étalé de l’électro-
phorégramme, aspect assez inhabituel lorsqu’il s’agit des sérums de bovidés pour
lesquels le diagramme est beaucoup plus compact.
Quoi qu’il en soit, après avoir mesuré du, nous avons apprécié les erreurs rela-
tives dP/P entraînées par les perturbations réciproques A et c(, cc et F, p et CI, p et y.
I,‘erreur dP/P n’a pas été calculée pour A et pour y, étant donné qu’il est possible
de déterminer ces courbes en dehors de tout empiétement en choisissant le deuxième
point sur les versants extérieurs de ces courbes.
Pour les courbes intermédiaires, on voit que dans les meilleures conditions
l’erreur ne saurait être inférieure à 10-15 p. x00.
c) Détermiwtio+t par les intégrateurs automatiques.
I,a précision de la mesure même n’est pas ici en cause. Nous voulons seulement
rappeler que ces mécanismes apprécient, pour chaque fraction, non pas la surface
exacte de la courbe de Gauss, mais une surface approchée qui est celle délimitée par
le tracé de l’électrophorégramme et les verticales menées par les points d’inflexion
(fig. 3).
--
.
260
C. LABOUCHE
Les résultats obtenus par planimétrie, pour ces surfaces, dans notre modèle sont
les suivants :
-.-.. -
-~~ ~ -..-...-.
--.-.. -
~
courlJe
)
Surfwe en 1111112 /
Ii :-=-=
~--~ -.; _ - -.- --- _-..
.._~~._
l
A
1 680
L!!J,‘t
(;Cl)
11.2
B
/
1 10.)
I!l.2
Y
2 300
'II),?
1~ _ __.
1,es pourcentages exacts sont respectivement de ~8, 14, 17 et 41 p. I~I). I,‘erreur
maxima se rencontre à nouveau clans les fractions intermédiaires (près de 30 p. 100
pour M, et 10 p. 100 pour p).
En conclusion,
lorsque les courbes se chevauchent sans que le niveau des sommets
en soit modifié, la détermination des surfaces en pourcentage de la surface totale
est déjà entachée d’erreur. Celle-ci peut atteindre 15 à zo 13. IOO, quelle que soit la
méthode utilisée. IYe est surtout sensible au niveau des fractions intermédiaires.
Au demeurant, l’application pratique de ces résultats reste réduite, car cette disposi-
tion respective des courbes ne se rencontre pour ainsi dire pas avec le sérum des bovi-
dés. I)ans ce cas, on assiste à un regroupement des fractions lentes avec formation
d’un massif protéinique compact.
c. - LES COURBES SE CHEVAUCHE%?
.
ET 1.A HAUTEUR DES SC )MMETS EST MODIFIEE (fig. 3)
*
1. - Llétermiwation
planiwaétrique des surfaces
I,es sources d’erreur sont multiples dont la principale réside dans le fait que le
tracé de la courbe s’appuie sur un sommet d’altitude erronée.
De plus, nous allons voir que la neutralisation des surfaces de chevauchement
est inopérante et que la somme des surfaces des courbes est différente de la surface
de l’électrophorégramme reconstitué.
Nous avons, à cet effet, réalisé la disposition suivante de nos courbes.
I,es sommets cc et y ne sont pas perturbés. Celui de p subit une légère translation
vers y en raison de l’intervention simultanée de CI et y.
En nous fixant sur les nouveaux sotnmets, sur les versants non perturbés de A et y
et sur le versant de 9 tourné vers a, les courbes de Gauss ont été construites mathéma-
ÉIJ~CTKOPHORÈSE Du &RUM DE Rovm
2UI
tiquement (nous nous sommes placés dans le cas où l’opérateur tracerait à main levée
une courbe exacte). Ces surfaces de chevauchement et les surfaces extérieures aux
courbes ont été mesurées au planimètre.
Il est facile de voir que les surfaces de chevauchement sont très largement
supérieures aux surfaces extérieures {3 à 4 fois pour M 3 t p et /3 -f +- y).
Par conséquent l’opérateur se trouve dans l’alternative suivante : tracer des
courbes de Gauss en négligeant les neutralisations ou bien neutraliser les surfaces
en renonçant à dessiner des courbes exactes. Dans les deux cas, il tombe dans l’erreur.
L)e plus les courbes calculées ou dessinées ne sont plus les courbes vraies puisque
basées sur des points de référence dont les coordonnées ont été falsifiées.
2. - Détermiv6ation mathématique
Erreur SUY la mesure de la surface S. - L’erreur relative est donnée par la
formule générale déjà calculée, en annulant dz.
et :
Pour U = U,/z, le 2" terme de cette expression s’annule et la formule de l’erreur est
identique à celle que nous avons déjà rencontrée, en absence de perturbation du
sommet. L’erreur est ici minimale, mais, en pratique, elle ne saurait être atteinte que
262
C. LABOUCHE
fortuitement, car Us est inconnu, ainsi par conséquent, que LJ,jz. Par ailleurs, cette
valeur minimale sera inéluctablement supérieure à celle rencontrée auparavant car
la valeur de dU est forcément plus importante que dans le cas précédent.
Erreur da%~ la déterîni+sation de S/ES. -- La valeur de dP/P est donnée pour
U = US/~ par une formule identique à celle que nous avons rencontrée, à la différence
près que la valeur de dU est ici plus forte.
dP
1 - - P
- -.- ---.
P - - P -+- 2;tj
Pour avoir une idée de l’erreur relative susceptible d’intervenir dans ces condi-
tions, nos courbes ont été rapprochées de 5 mm les unes des autres, à partir de la
position pr&éclente pour laquelle la hauteur des sommets restait intouchée (fig. 3).
I,‘ordonnée des points US/2 a été augmentée de 8 mm pour E et de y,5 mm pour 3.
Ceci entraîne une erreur relative sur le pourcentage de plus de 50 p. IOO pour il et de
plus de 25 p. 100 pour p.
Ces données numériques sont sans doute inférieures à la réalité de la pratique
dans laquelle, en particulier le chevauchement des y et $ est tel que le sommet 9 ne
constitue le plus souvent qu’un ressaut du massif des globulines. On peut concevoir
avec quelle piètre précision les concentrations relatives peuvent être déterminées.
I,a mesure des surfaces effectuée dans les conditions précisées au chapitre précb-
.
dent sur le modèle dont nous venons de fixer les caractéristiques en (2), a fourni les
a
résultats ci-après :
Ici à nouveau l’erreur porte sur les fractions intermédiaires pour atteindre des
valeurs telles qu’il devient déraisonnable de fixer un chiffre au pourcentage de ces
fractions. A et y paraissent épargnés, mais ce n’est qu’une illusion due à la disposition
favorable des courbes que nous avons réalisée, afin de conserver une certaine indivi-
dualisation des sommets.
III. -- cONcI,USION
Nous avons cherché à donner un ordre de grandeur de la précision avec laquelle
peut être connue la concentration relative des fractions protéiques des sérums de
Bovidés domestiques soumis à l’électrophorèse. Pour ce faire, nous avons utilisé des
~~LECTR~PHORÈSI~ 1x7 S&RUM ~313 B O V I N
263
:
courbes de Gauss, mathématiquement définies et proches de celles que l’on peut réel-
lement observer. Des électrophorégrammes artificiels ont été reconstitués en faisant
plus ou moins chevaucher ces courbes les unes sur les autres. On a pu voir ainsi que :
10
.
lorsque l’empiétement des courbes s’effectue sans modification de l’ordonnée
des sommets, une erreur s’introduit au niveau des fractions intermédiaires, a et 7,
pouvant atteindre 30 p. IOO.
20 lorsque la hauteur des sommets est modifiée, la méthode manuelle est systé-
matiquement fausse. L’erreur liée à l’utilisation de la méthode mkthématique s’ampli-
fie tandis que l’intégration automatique fournit des donn.ées très approximatives.
Dans tous nos modèles, les sommets sont restés cependatit individualisés. Or,
sur les électrophorégrammes de sérum de Ruminants, le sommet K est le plus souvent
inapparent tandis que celui de la fraction (j ne se traduit que par un ressaut plus ou
moins bien délimité du versant des y globulines. On peut donc se demander, dans ces
conditions quelle confiance on peut accorder aux déterminations’quantitatives
corres-
pondantes.
Par conséquent, en attendant la mise en jeu de techniques plus précises, il
serait sage de n’accorder aux renseignements chiffrés fournis : par l’électrophorèse
du sérum des Bovidés que la valeur d’ordres de grandeur et plus particulièrement en
ce qui concerne les fractions intermédiaires.
Rrp $Oi*V publiratioz PI1 awil 1962.
SUMMARY
TIIE CALCULATlOh!
O F ERRORS IN THE QCANTITATIVE INTERPRE’kATION O F T I I E
ELECTROPIIORESIS OF THE SERUM OF DOMESTIC BOVINES
The proteins of the blood of the domestic ruminants are only imperfectly separated bv elec-
troahoresis. Yerv often the neak of the cc-elobulins is not clearlv visible and the Q-nlobuI<ns are
net‘ distinctly isilated from {he y-globulins~LA~~OI’~IrE, 1962 a ; kapport sur l’activ’itë du Labora-
toire national de Recherches vétérinaires, Dakar, 19j9-1960).
An effort was made to determine the prccision with which, under these conditions, the relative
concentration of each fraction could be estimated when the following methods were used for measu-
ring the surfaces :
a) free-hand sketches of the contours and mnnual planimetry ;
b) mathematical (LMKJUCIIE, 1962, b) ;
6) automatic integrators.
In pursuance of this abject the electrophoretic di?gyams were reconstituted by more or less
overlapping the Gauss curves after mathematical defimtlon. l’he following results were obtained :
I. When the encroachment does not modify the height of the peaks, the error in the case of
cc-and P-globulins rnay reach 30 p. 100 ;
2. When the peaks are disturbed thc hand method gives systematically incorrect results, while
the mathematical and automatic integration methods yield only approximate figures.
Ilence the quantitative interpretation
of the electrophoresis of bovid’ serum will inclicate only
orders of magnitude, especially in SO far as the intermediate fractions are concerned.
1
RÉFÉRENCES BIBI,IOGRAPHIQUES
LABOLXHE
Cl., 1962 a.
Mthode d’appr&istion de la séparation des fractions obtenues par micro-électro-
.
phorése en milieu liquide.
Ann. Inst. Pasteur, 102, 555-j60S
.
LABOCCHE
Cl., 1962 6.
M?chode mathématique d’interprftation quantitative des électrophortses sur papier.
.-Inn. IM. I’astelkY, 102, 561-566.
Rapport sur l’activité du Labomtoire national de Recherches vétérinaires de Dakar-Hann, 1959-1960.
Annales de Kologie animale. - 1962.
6
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